אוניברסיטת תל אביב הפקולטה להנדסה ע"ש איבי ואלדר פליישמן מספר סידורי: מספר סטודנט: בחינה בקורס: פיזיקה משך הבחינה: שלוש שעות 1 יש לענות על כל השאלות 1 לכל השאלות משקל שווה בציון הסופי, ולכל סעיף אותו משקל בשאלה 1 יש לכתוב תשובות מלאות בכתב יד ברור ונקי ע"ג טופס הבחינה בלבד! המחברות משמשות לטיוטה בלבד ולא תבדקנה 1 ניתן להיעזר בשני דפי נוסחאות )A(, כתובים משני הצדדים 1 בנוסף, נוסחאות של אופרטורים דיפרנציאלים בקואורדינטות שונות מופיעות בסוף הבחינה 1 ניתן )אך אין צורך( להיעזר במחשבון 1 אין להיעזר בשום מכשיר אלקטרוני שאינו מחשבון 1 ב ה צ ל ח ה!!! שאלה 6 3 ציון ציון כולל : כל הזכויות שמורות מבלי לפגוע באמור לעיל, אין להעתיק, לצלם, להקליט, לשדר, לאחסן מאגר מידע, בכל דרך שהיא, בין מכנית ובין אלקטרונית או בכל דרך אחרת כל חלק שהוא מטופס הבחינה.
שאלה 1 נתונה המערכת הבאה, המתוארת בקואורדינטות כדוריות: בראשית הצירים נמצא מטען נקודתי 1q בתחום הרדיאלי ישנה קליפה כדורית עבה, מוליכה ובלתי טעונה 1 ברדיוס )כאשר ) ישנה קליפה כדורית דקה, מבודדת וטעונה בצפיפות מטען משטחית אחידה 1 1 א 1 ב 1 ג 1 מהו וקטור השדה החשמלי בכל המרחב? מהי פונקציית הפוטנציאל בכל המרחב? )קחו את הפוטנציאל להיות. ב- 1( רשמו את מיקומיהן וגדליהן של כל צפיפויות המטען המשטחיות במערכת, פרט לזו שב- ) 1( בכמה משתנה הפוטנציאל בנקודה.).?( מזיזים את המטען הנקודתי למיקום פתרון: א 1 מאחר שלמערכת סימטריה כדורית, כוון השדה החשמלי הוא מקום: נשתנמש בכך שבשל חוק גאוס והסימטריה הכדורית, השדה ברדיוס או שווה ל- 1 השדה הוא השדה של המטען הנקודתי: לכן, בתחום בכל מקום 1 כעת נראה מה גודל השדה בכל תלוי רק במטענים שנמצאים ברדיוס קטן בתחום עבור נמצא חומר מוליך, ולכן השדה בתחום זה הוא.:, השדה הוא שוב כשל מטען נקודתי : : עבור, השדה הוא של מטען נקודתי
3 ב 1 את הפוטנציאל נקבל ע"י אינטגרציה על פני השדה מאינסוף עד הראשית, כך שהפוטנציאל הוא. באינסוף, ובגבולות בין התחומים השונים נקפיד על רציפות הפוטנציאל: בתחום : עבור : ( ) )כאשר האיבר הראשון בשורה הראשונה נובע מרציפות הפוטנציאל ב- (1 : בתחום נמצא חומר מוליך, ולכן הפוטנציאל הוא זה של ( ) עבור : ( ) ( ) ( ) מאחר שכל משטח גאוס ששפתו בתוך הקליפה המוליכה מכיל מטען כולל., אז על השפה הפנימית של ג 1, כלומר, צפיפות מטען משטחית אחידה )בשל הסימטריה ) יהיה מטען כולל הקליפה המוליכה )ברדיוס הכדורית( בגודל מאחר שהקליפה המוליכה ניטרלית, על שפתה החיצונית )ברדיוס משטחית אחידה בגודל ) יהיה מטען כולל, כלומר, צפיפות מטען ניתן לקבל פתרון זה גם מהקפיצה בשדה 1
בניקוד שאלה זו הושם דגש חזק על נימוק מלא 1 מרכיבי התשובה הנדרשים לניקוד מלא הם: מוליכה, דהיינו שווה-פוטנציאלית בעלת סימטריה כדורית והמטענים מחוץ מאחר שהקליפה בתחום לקליפה מקיימים סימטריה כדורית,משטחים שווה-פוטנציאליים חייבים לקיים סימטריה כדורית בתחום ניצבים לשפת הקליפה ומקיימים סימטריה כדורית 1. לכן קווי השדה מחוצה לה, ב- נמצא שהוא מכיל את אותו מטען כמו בסעיפים הקודמים 1 לכן השדה אם נבנה משטח גאוס כדורי בתחום אינו משתנה,כך שגם הפוטנציאל אינו משתנה בתחום זה. בתחום שאלה נמצא משטח אינסופי דק, הטעון בצפיפות מטען משטחית אחידה במישור קבוע 1 כאשר, נמצאת לולאה ריבועית נייחת בעלת צלע בגובה h מעל המשטח, במישור כפונקציה של הזמן: 1 המשטח נע במהירות )ראו איור( 1 ענו על כל הסעיפים א 1 ב 1 ג 1 מהי צפיפות הזרם הקווית הנובעת מתנועת המשטח? מהו השדה המגנטי בכל המרחב? מהו שטף השדה המגנטי דרך הלולאה? נתון שלמסגרת התנגדות 1 מהו גודל הזרם במסגרת ומהו כוונו )ציירו את הכוון לפי האיור(?.. בקטע זה ישנו מטען. צפיפות הזרם הקווית היא הזרם פתרון: )א( נתבונן בקטע על המשטח בעל רוחב )בכוון ) ואורך גזירה לפי הזמן נותנת את הזרם החוצה את חזית הקטע: ליחידם אורך בניצב לתנועת המטענים, כלומר )ב( מכלל היד הימנית של חוק ביו-סבר נובע כי שהשדה המגנטי יהיה בכיוון y- בצד העליון של הלוח ובכיוון y בצד התחתון של הלוח, ומאינסופיות המשטח נובע שהשדה לא יכול להיות תלוי בקוארדינטות.x,y
5 לכן, נבנה לולאת אמפר בצורת מלבן שצלעותיה מקבילות לצירים z ו y הלוח, גובהה z ואורכה L כבאיור למטה. ממשפט אמפר נקבל )לתקן פקטור (: והממוקמת באופן סימטרי סביב B dl LB I L vl in v B ( yˆ ולכן נוסיף את הכיוונים ונקבל: (z ) sign( sign(z)( היא פונקציה ששווה ל 1+ אם z חיובי ו 1- אם z שלילי). B v va B כאשר המעבר הראשון התאפשר משום שהשדה מאונך לפני )ג( B ds BS Ba הלולאה הריבועית )לא להתבלבל עם לולאת אמפר מהסעיף הקודם!( ואחיד. )ד( נקבל את גודל הכא"מ המושרה בלולאה מתוך משוואת פרדיי: d B d v ta v a dt dt v a I ולפי חוק אוהם הזרם יהיה: R R את הכיוון נקבע לפי חוק לנץ: השטף גדל והשדה בכיוון. לכן הזרם המושרה צריך ליצור שדה מגנטי בכיוון y+. לפי כלל היד הימנית, זרם כזה הוא עם כיוון השעון )כבאיור(.
1 שאלה 3 קבל שקיבולו מחובר לשני מוטות חצי-אינסופיים וחסרי התנגדות 1 מוט שלישי, בעל אורך נוגע בקצותיו במוטות החצי אינסופיים ומתרחק מהקבל במהירות קבועה שדה מגנטי קבוע א 1 ב 1 ג 1 וחסר התנגדות, )ראו איור א'( 1 באזור המוט הנע פועל הניצב למישור המעגל )השדה נכנס לדף( 1 שדה זה אינו קיים באזור הקבל 1 הזניחו את התנגדות התילים ואת השדה המגנטי שיוצר הזרם המושרה 1 מהו הכא"מ המושרה במעגל? מהו המטען על הקבל? מחליפים את הקבל בנגד שהתנגדותו )ראו איור ב'( 1 מהו הזרם במעגל? )גודל וכיוון ציינו את הכיוון באופן ברור( מחזירים את הקבל למעגל, כך שהוא מחובר בטור עם הנגד )ראו איור ג'( 1 כתבו את משוואת המתחים של המעגל ומצאו את הזרם כפונקציה של הזמן, כאשר נתון שהקבל אינו טעון בזמן 1 v איור א' איור ב' איור ג'
7 פתרון: א 1 נגדיר תחילה מערכת צירים: ציר יהיה כיוון התקדמות המוט וציר בהתאם( 1 כדי למצוא את הכא"מ המושרה, נשתמש בחוק פרדיי: ε יוצא מכיוון הדף )ציר הוא כלפי מעלה, השדה המגנטי אחי לכן, בכל זמן נתון, השטף המגנטי הוא מכפלת השדה המגנטי בשטח המעגל 1 נקבל ε כאשר הוא המרחק שעובר המוט תוך זמן, כאשר ב 1 ההגדרה של קיבול היא הוא הפרש המתחים בין לוחות הקבל 1 בשאלה שלנו ג 1 את גודל הזרם במעגל נמצא מחוק אוהם את כיוון הזרם נמצא ע"י חוק לנץ: השטף של השדה המגנטי שעובר בשטח המעגל גדל עם הזמן מכיוון שהשטח של המעגל גדל עם הזמן 1 הזרם המושרה יקטין את השינוי השטף המגנטי ע"י יצירת שדה מגנטי מושרה בכיוון ההפוך לשדה המגנטי שנתון בבעיה 1 מכלל יד ימין נקבל שהזרם המושרה הוא נגד כיוון השעון. )ניתן לפתור גם לפי חוק לורנץ על המטענים במוט הנע 1 ( יש בפנינו מעגל RC שמחובר למקור מתח שנתון ע"י הכא"מ המושרה שמצאנו בסעיף א' 1 נכתוב את הפרש המתחים לאורך המעגל ונשווה לאפס 1 נרצה לכתוב משוואה לזרם, נשתמש בכך ש ε )הסימן הוא חיובי מכיוון שהגדרנו את הכוון החיובי של המטען להיות כך שהלוח העליון טעון חיובית, ואז רואים שהקבל נטען ע"י זרם בכיוון אותו הגדרנו כחיובי( 1 ישנן שתי דרכים לפתור את המשוואה 1 דרך אחת: המשוואה הופכת להיות את פתרון משוואה זו ראינו בשיעורים 1 נכתוב את המשוואה בצורה כלומר הפתרון למשוואה מצורה זו ידוע: כאשר A קבוע אינטגרציה 1 כלומר: או: תנאי ההתחלה מתקבלים מהבחירה, כך שמתקבל הפתרון ( )
8 נגזור לפי הזמן ונקבל את הזרם: דרך שנייה היא לגזור את משוואת המתחים שכתבנו:, נמצא מתנאי ההתחלה 1 נתון לנו שבזמן ההתחלתי הקבל לא טעון, אז הפתרון של המשוואה הזו הוא כאשר את הקבוע, שהוא הזרם בזמן נציב זאת במשוואת המתחים לעיל ונקבל ε